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安妮聊数学:学有趣的科普,提升思维高度
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章节目录 第 9 节 无穷大有什么用(第1页/共2页)
文 /
安妮·鲁尼
言|情|小|说|吧
如果那些超级大的数真的是没什么用处
那么无穷大岂不是更加没用了吗
宇宙到底是有限的还是无限的呢
如果宇宙是有限的
那么它就不能包含任何无限大的东西吗
情况好像并不是这样
在我们继续讨论之前
让我们先多了解一下无穷大吧
如果你问别人无穷大是什么
他们可能会想到一串看不到尽头的数字
这串数字从 1 或者 0 开始
越过 1,000,000
跨过 googol 甚至 googolplex
但仍旧没有尽头
我们总可以加上 1
或者把数字中的「1」换成「9」
或者让其乘以自身……总之
我们总有办法得到一个更大的数
没错
这样就可以越来越接近「无穷大」
但要注意的是
不仅那些从 0 开始一路增大的正数是无穷的
那些从 0 开始一路减小的负数也是无穷的
仅有上面的两种无穷还不够
还有分数的无穷(googol 分之一等)
小数的无穷(0.1
0.11 等)
当你得到 0.1111 并且意识到可以通过让 1 不断重复
将它一直无穷尽地写下去时
你就可以用同样的方法将 0.121111 无穷尽地写下去
如此种种
你会发现即使在 0 和 1 之间也仍然有太多的无穷
同理
在 1 和 2 或者 0 和—1 之间也有很多的无穷
因此
无可厚非的是无穷的种类也将是无穷的
无穷究竟有多大
这听上去很像是好奇的小孩子经常会问的问题
但当我们意识到无穷也有很多种(无穷)时
这个问题的复杂性就达到了一个新的维度
根据常识
我们可以很容易地判断出偶数的个数是全部整数的一半
而且其个数与奇数的个数相同
可是
它们的个数都是无穷的
数轴上任何两点之间的数字的个数是无穷的
同样
每一个无理数的数位也是无穷的
那么问题来了
这些「无穷」会是一样大的吗
1 和 2 之间的数字个数真的会与正数和负数的个数一样多吗
德国数学家格奥尔格·康托尔(Georg Cantor)给出了这个问题的答案
他分别于 1874 年和 1891 年说明了无穷也有大小
如果要我们去想象无穷的样子
我们可能会将它想象成正在向宇宙深处不断延伸
因此
当听到「无穷是可控的」这种说法时
人们多少还是会感到新奇
但如果真的让你想象一下 0 和 1 之间的无穷时
你或许还是会想到一条正向远方延伸的数轴
却永远都无法到达数轴的另一端
一种绘制分形图案的方法或许能够帮助我们更形象地理解无穷
分形是不断重复绘制某种图形的方法
它可以将无穷可视化
科赫雪花(koch snowflake)就是一个经典的分形图案
它从一个正三角形(三边相等的三角形)开始画起
然后
把正三角形每条边分成三等份
以各边的中间部分为底边
分别向外作正三角形
再把「底边」线段去掉
这样就得到了一个星星的形状(数学上将这个形状称为六角形)
对每一个小三角形重复上述过程
直到无穷
每当你完成一次上述过程并得到一组新的突起的小三角形时
整个雪花线的周长就会在原来的基础上增加 1/3
(想想看
你每次都要擦除一条边的 1/3
然后两次增加同样长的边
也就是说每增加一个新的小三角形就会在周长中去除一部分
同时又增加同样长的两个新部分
这样每次增加的长度即是原来三角形边长的 1/3
)很明显
「雪花」的周长会越来越长
尽管新增三角形的边长会越来越短
但它们的数量却越来越多
如果最初三角形的边长为 s
经过 n 次增长过程
那么总周长(P)可由下式计算:
P=3S×(4/3)
随着 n 的增加
周长将趋于无穷(因为 4/3 比 1 大
所有(4/3)
会变得越来越大)
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