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安妮聊数学:学有趣的科普,提升思维高度
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章节目录 第 20 节 质数有什么特别之处(第1页/共2页)
文 /
安妮·鲁尼
言|情|小|说|吧
虽然质数最初根本不属于数学范畴
但其实它可能远比你想象的更有用
质数是那些除了 1 与其自身之外
再没有其他因数的数字
这意味着
质数无法表示成多个数字(只包括正整数)连乘的形式
除了:
[质数]×1=[质数]
合数是那些除了 1 和其自身之外
还有其他因数的数字
所以在正整数中
除了 0 和 1 之外
其他数字不是质数就是合数
每个合数可以表示为质数之积
这也就是说每一个合数都可以分解成仅包含质数因数的连乘形式
这说明质数有一个重要作用:它们是数字的积木
我们可以用它们来构成其他数字
在 19 世纪的时候
人们证明了质数定理
这一定理说的是如果给定一个随机选择的数字 n
那么这个数字为质数的可能性将与这个数字的位数成反比
或者说与 n 的对数成反比
这意味着
如果这个数越大
那么这个数是质数的可能性就越小
同样
如果把大于 2 而小于 n 的质数按顺序排列起来
那么相邻质数之间的平均间隔将大概等于 n 的对数
或者说 ln(n)
一种可以测试质数的方法就是试除法
如果 n 是我们要测试的数字
那么我们可以试着用大于 1 且小于 n/2 的所有数字来除以 n
显然
用这种方法来测试大数是不是质数会非常吃力
因此我们需要使用其他方法
而这些方法通常都需要借助计算机
迄今为止(截至 2015 年 4 月)
我们发现的最大的质数为 2
—1
它总共有 17,425,170 位数字
除非你是个执着的狂热分子
否则费尽心力去寻找更大的质数并没有什么必要
不过
电子前沿基金会
(Electronic Frontier Foundation)还是为此提供了一笔奖金
用来奖励第一个发现超过 1 亿位质数的人和第一个发现超过 5 亿位质数的人
质数就像杂草一样芜乱生长于自然数之中
这些看上去完全随机分布的质数却展现出令人啧啧称奇的规律性
似乎有某种规则在规范着它们的行为
而它们也几乎像是遵守军令一样严格地遵守着这些规则
——顿·扎格尔(Don Zagier)美国数论学家
以往我们主要依靠数学家们的头脑
而现在我们还可以借助计算机那些复杂的程序来寻找质数所具有的特殊模式
但遗憾的是
到目前为止
我们还一无所获
生活在公元前 2 世纪或 3 世纪的古希腊数学家欧几里得
或许是我们所知道的第一位意识到质数存在的人
另外一位生活在公元前 2 世纪的希腊数学家埃拉托色尼提出了一个方法
即用筛选的方式来筛出质数
这个方法虽然只能用来发现较小的质数
不过它使用起来非常简单
首先画一张表格
表格的列数固定
一共 10 列
行数任意
将你想要检测的数字都填入
如果你想要检测到 n
你就需要将 1 到 n 的所有数字都填入表格
然后
从 4 开始
从整张表格中划去 2 的倍数
接着划去 3 的倍数
5 的倍数
7 的倍数
如此一直继续下去
直到划去(n/2—1)的倍数便可以停下来
因为小于等于 n 的数中都不会存在比这个数更大的因数了
这时
表格中剩下的那些还没有被划去的数字就是质数了
从古希腊时代开始一直到 17 世纪之前
人们对质数并没有太多兴趣
即使是在 17 世纪
除了纯数学领域
质数也并没有在其他领域有什么实际用途
不过还
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