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安妮聊数学:学有趣的科普,提升思维高度
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章节目录 第 6 节 为什么有很多简单的问题却难以回答(第1页/共4页)
文 /
安妮·鲁尼
言|情|小|说|吧
提出问题容易
但想要回答它们却并不容易
如果你想要坚不可摧的证明的话
每一个非负偶数总能够写成两个质数之和吗
这个对于我们日常生活并不是太重要的问题看上去似乎非常简单
普鲁士的业余数学家克里斯蒂安·哥德巴赫(Christian Goldbach)曾经提出这样一个猜想:任一大于 2 的偶数都可以写成两个质数之和
1742 年
他在给国际知名数学家莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)的信中提出了这个猜想
我们可以用几组数字来看看这个猜测是不是正确:
4=2+2(2 是唯一的偶质数)
6=3+3 8=5+3 10=5+5 12=7+5
……
7614=7607+7
1 和质数
尽管 1 具备了质数的某些特性
但事实上 1 并没有被认为是质数
质数的定义中排除了 1:任何大于 1 且除了 1 和其自身之外没有其他因数的数被称为质数
当然
不包括 1 自然有其他原因
而且这些原因解释起来有些复杂
因此我们暂且认为 1 之所以不是质数是因为它太特殊了
实际上
哥德巴赫确实曾经考虑过把 1 当作质数
他还提出了另外一个想法
这个想法现在被称为弱哥德巴赫猜想
即每一个大于 2 的奇数都能够被表示为三个质数之和
既然我们把 1 排除在质数之外
弱哥德巴赫猜想也被重新表述为任何一个大于 5 的非负奇数都能够被表示为三个质数之和
[弱哥德巴赫猜想已经在 2013 年被秘鲁数学家哈洛德·贺欧夫各特(Harald Helfgott)证明]
每一个偶数都是两个质数之和
虽然我无法证明它
但我还是完全相信它是一个定理
——摘自克里斯蒂安·哥德巴赫于 1742 年 6 月 7 日致欧拉的信
欧拉有些不明智
他对哥德巴赫的想法甚至有些藐视
尽管哥德巴赫能够举出很多满足猜想的数字实例
但是他却始终无法证明他的猜想是对的
在数学上
即使你尝试的每组数字都能让某个定理成立
也并不能说明什么问题
你需要的是证明它
直到今天
人们仍然无法证明哥德巴赫猜想
虽然计算机已经将实例验证的范围扩展到 4×10
(4,000,000,000,000,000,000)
但这仍然不能证明哥德巴赫猜想
真的会有一个数
或许就在 10
附近
它就恰恰不满足哥德巴赫猜想吗
如果真有这样一个数
那么我们可能就有了一种被愚弄的感觉
毕竟我们一直认为它是一个定理
尽管 10
这个数字并没有什么实际用处
因为在我们已知的宇宙中还没有什么特殊的事物与之有直接关系
虽然算出它并无法证明哥德巴赫猜想
但至少可以说明该猜想是错误的(详见第 10 节)
因此
不断尝试并不是浪费努力
这只是猜想
数学定理是那些已经被证明了的陈述
你可能会产生某种想法
这个想法可能是一种猜测
也可能是某种有很多例证的直觉
但是如果你无法证明它
那么这个想法就只能是一个猜想
如果你后来找到了证明它的方法
那么它就可以升级为一个定理
如果是其他人找到了证明它的方法
那么他们通常就会为这个定理命名
即便它在几个世纪之前就已经被提出
皮埃尔·费马(Pierre de Fermat)在提出他所谓的「最后的定理」时就耍了个小手段
他说他已经找到了证明的方法
只是没有地方写下来
因此
当英国数学家安德鲁·怀尔斯(Andrew Wiles)在 1993 年证明了这个定理的时候
也只好沿用「费马大定理」这个名字
因为费马早已宣称自己证明
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