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章节目录第 27 节你知道你喝了多少酒吗(第1页/共6页)

文 / 安妮·鲁尼

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最重要的数学工具之一竟然是一个想知道自己喝了多少酒的德国人发明的

1613 年

德国天文学家

数学家约翰尼斯·开普勒（Johannes Kepler）准备迎娶他的第二任妻子

他定了一桶葡萄酒来助兴

作为一位谨慎的数学家

他询问了葡萄酒酒商测量酒桶体积的方法

因为这关系到一桶酒的价格

酒商会将一根木棍它伸进酒桶一侧的小孔

然后测量木棍能够伸进酒桶内的长度

这种方法可以量出酒桶最宽处的直径

体积可以用酒桶的截面面积乘以桶高来获得

不过用这种计算方法算出的结果会比酒桶的实际体积大

因为酒桶的截面并不等大

两端要窄一些

由于不想为没有喝到的酒付钱

开普勒想要找到一种更好的测量酒桶体积的方法

开普勒想出的这种方法被称为极小量（infinitesimal）

他想象着把酒桶分割成非常薄的薄片

然后从上到下一个个堆叠起来

其中每一个切片都是一个圆柱体

只不过圆柱体的高非常小

这些圆柱形的切片有不同的截面积

酒桶中间部分的切片截面积最大

越往两边截面积越小

当然

每一个圆柱的柱面还是存在一点倾向的

两端圆形的端面也不一样

一个稍比另一个大一些

但随着把切片切得越来越薄

圆柱两端面的差异也会变得越来越小

最后甚至可以达到非常小

或者说小到完全可以忽略不计了

开普勒的方法很快就被不同的微积分方法取代了

微积分是由艾萨克·牛顿和德国哲学家戈特弗里德·莱布尼茨（Gottfried Leibniz）于 17 世纪的时候分别提出的

牛顿和莱布尼兹（各自独立提出微积分）对饮酒并没有太大的兴趣

不过他们对直线或者曲线的斜率倒是颇感兴趣

他们从极小量开始：很明显

曲线上每一点处的斜率都是在不断变化的

而且可以计算出曲线上连接某两点的直线的斜率

以此来获得曲线某一局部的斜率变化

如下图所示

如果将曲线段截取得越短

那么连接曲线两端点的直线 ab 的斜率就会越接近曲线在 a 点的斜率

再举个简单的例子

函数 f(2x) 的图像

沿着直线

各点的斜率相同

实际上

这条直线的斜率为 2:1

或者说是 2.这是因为

输入

即在 x 轴（水平方向）上每变化 1 个单位

则输出

在 y 轴（竖直方向）上就会产生两个单位的变化

也就是说

这幅图像表示了输入与输出的关系：y=2x

我们为这个函数加上一个常量

这种改变并不会改变曲线的斜率

改变后的函数 f(2x+3)的图像仍旧是一条直线

只是直线在坐标系的位置发生了移动

因为现在输入与输出的关系变成了 y=2x+3

所以直线沿 y 轴向上移动了 3 个单位

显然

加入常量并不会影响斜率的计算

现在我们再来画一下函数 f（x2）的图像

该图像（如右图所示）将会是一条抛物线

抛物线上各点的斜率都不同

不过凑巧的是

这条曲线各处的斜率恰好可以用函数 2x 来表示

这是牛顿和莱布尼兹发现的

牛顿和莱布 https://www.yanqingzhan.net

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